Question

18．已知f（x）=|x²-1|+x²+kx
（Ⅰ）若k=-2，解不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）=0在（0，2）上有兩個解x₁，x₂，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）這個方程為絕對值方程，可以利用絕對值的代數(shù)意義去絕對值符號，再分情況解一元二次方程即可，最后方程的解集為兩種情況的并集．
（Ⅱ）先根據(jù)絕對值的代數(shù)意義，把函數(shù)f（x）化為分段函數(shù)，根據(jù)函數(shù)在（0，1）上的解析式為一次函數(shù)，可判斷，當x∈（0，1]時，f（x）為單調函數(shù)，所以與x軸的交點至多有一個，即f（x）=0在（0，1]上至多一個解．而當方程f（x）=0的兩個解若都在（1，2）上，則x₁x₂=-$\frac{1}{2}$，與兩根都屬于（1，2）矛盾，所以判斷方程f（x）=0在（0，2）上的兩個解x₁、x₂，一個在（0，1]，一個在（1，2）再根據(jù)兩種情況的解析式求出k值，解出范圍，最后，兩種情況求出的k的范圍取交集．

解答 解：（Ⅰ）若k=-2，f（x）=|x²-1|+x²-2x，不等式f（x）＞0，即|x²-1|+x²-2x＞0，
即|x²-1|＞-x²+2x，∴x²-1＞-x²+2x①或x²-1＜-（-x²+2x ）②，
解①求得 x＜$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，或x＞$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，解②求得x＜$\frac{1}{2}$，
故不等式的解集為{x|x＜$\frac{1}{2}$，或x＞$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$}．
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）=0在（0，2）上有兩個解x₁，x₂，
不妨設0＜x₁＜x₂＜2，
因為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2x}^{2}+kx-1，|x|＞1}\\{kx+1，|x|≤1}\end{array}\right.$，
所以f（x）在（0，1]是單調遞函數(shù)，故f（x）=0在（0，1]上至多一個解，
若x₁，x₂∈（1，2），則x₁x₂=-$\frac{1}{2}$＜0，故不符合題意，因此，x₁∈（0，1]，x₂∈（1，2）．
由f（x₁）=0，得k=-$\frac{1}{{x}_{1}}$，所以k≤-1；
由f（x₂）=0，得k=$\frac{1}{{x}_{2}}$-2x₂，∴-$\frac{7}{2}$＜k＜-1．
故當-$\frac{7}{2}$＜k＜-1時，f（x）=0在（0，2）上有兩個解．

點評 本題主要考查了含絕對值的方程的解法，以及方程根的判斷，做題時要善于借助函數(shù)的單調性與韋達定理，屬于中檔題．