Question

14．如圖，矩形ABCD中，AB=3，AD=2，一質(zhì)點從AB邊上的點P₀出發(fā)，沿與AB的夾角為θ的方向射到邊BC上點P₁后，依次反射（入射角與反射角相等）到邊CD，DA和AB上的P₂，P₃，P₄處．
（1）若P₄與P₀重合，求tanθ的值；
（2）若P₄落在A、P₀兩點之間，且AP₀=2，設(shè)tanθ=t．
（i）求tanθ的取值范圍；
（ii）將五邊形P₀P₁P₂P₃P₄的面積S表示為t的函數(shù)，并求S的最大值．
（參考結(jié)論：函數(shù)g（x）=x+$\frac{a}{x}$，（a＞0），x＞0，則函數(shù)g（x）在（0，$\sqrt{a}$]上是減函數(shù)，在[$\sqrt{a}$，+∞）是增函數(shù)．）

Answer 1

分析 （1）設(shè)P₀B=m（0＜m＜3），給出P₁B、P₁C關(guān)于m和tanθ的式子，利用解直角三角形分別算出P₂C、P₂D、P₃D、P₃A，從而可得AP₄=$\frac{{P}_{3}A}{tanθ}$=$\frac{4}{tanθ}$，根據(jù)點P₄與P₀重合得AP₄+P₀B=3，化成關(guān)于tanθ的式子，可得tanθ的值；
（2）（i）當(dāng)AP₀=2即m=1，結(jié)合（I）得AP₄=$\frac{4}{t}$．由P₄落在A，P₀兩點之間解得0＜AP₄＜2，從而tanθ=t∈（$\frac{2}{3}$，1）；
（ii）由五邊形面積S=S_ABCD-${S}_{△B{P}_{0}{P}_{1}}$-${S}_{△C{P}_{1}{P}_{2}}$-${S}_{△D{P}_{2}{P}_{3}}$-${S}_{△A{P}_{3}{P}_{4}}$，將S化成關(guān)于t的函數(shù)S=32-（17t+$\frac{12}{t}$），再利用基本不等式求最值可得當(dāng)t=$\sqrt{\frac{12}{17}}$時，S的最大值為32-4$\sqrt{51}$．

解答 解：（1）設(shè)P₀B=m（0＜m＜3），可得：
P₁B=mtanθ，P₁C=2-mtanθ，
P₂C=$\frac{{P}_{1}C}{tanθ}$=$\frac{2}{tanθ}$，P₂D=3+m-$\frac{2}{tanθ}$，
∴P₃D=P₂D•tanθ=（3+m）tanθ-2，P₃A=4-（3+m）tanθ，
可得AP₄=$\frac{{P}_{3}A}{tanθ}$=$\frac{4}{tanθ}$-3-m，
∵點P₄與P₀重合，∴AP₄+P₀B=3，
即$\frac{4}{tanθ}$-3-m+m=3，可得$\frac{4}{tanθ}$=6，解之得tanθ=$\frac{2}{3}$；
（2）（i）當(dāng)AP₀=2即m=1，由（I）可得AP₄=$\frac{4}{tanθ}$-4，
∵P₄落在A，P₀兩點之間，可得0＜AP₄＜2，即tanθ=t∈（$\frac{2}{3}$，1）；
（ii）五邊形面積S=S_ABCD-${S}_{△B{P}_{0}{P}_{1}}$-${S}_{△C{P}_{1}{P}_{2}}$-${S}_{△D{P}_{2}{P}_{3}}$-${S}_{△A{P}_{3}{P}_{4}}$
=6-$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{2}$（2-t）（$\frac{2}{t}$-1）-$\frac{1}{2}$（4-$\frac{2}{t}$）（4t-2）-$\frac{1}{2}$（4-4t）（$\frac{4}{t}$-4）
=32-17t-$\frac{12}{t}$=32-（17t+$\frac{12}{t}$）≤32-2$\sqrt{17t•\frac{12}{t}}$=32-4$\sqrt{51}$，
由此可得：當(dāng)且僅當(dāng)t=$\sqrt{\frac{12}{17}}$時，S的最大值為32-4$\sqrt{51}$．

點評 本題給出實際應(yīng)用問題，求函數(shù)五邊形面積的最大值．著重考查了解直角三角形、三角形的面積公式和利用基本不等式求函數(shù)的最值等知識，屬于中檔題．