Question

14．已知a∈R，函數(shù)f（x）=ax+lnx，g（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{ex}$（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）若a=-e²，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若a=-1，求證：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞g（x）-x恒成立．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，進(jìn)而得到所求極值；
（2）要證原不等式成立，即證xlnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$在x＞0恒成立．設(shè)m（x）=xlnx，n（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最值，比較大小，即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=-e²x+lnx（x＞0）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-e²+$\frac{1}{x}$=-$\frac{{e}^{2}（x-\frac{1}{{e}^{2}}）}{x}$，
當(dāng)x＞$\frac{1}{{e}^{2}}$時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{{e}^{2}}$時(shí)，f′（x）＞0．
即有f（x）在（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）遞增，在（$\frac{1}{{e}^{2}}$，+∞）時(shí)，f（x）遞減．
可得f（x）在x=$\frac{1}{{e}^{2}}$處取得極大值-1+ln$\frac{1}{{e}^{2}}$=-3，無(wú)極小值；
（2）證明：a=-1時(shí)，要證當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞g（x）-x恒成立，
即證-x+lnx＞$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{ex}$-x，即為xlnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$在x＞0恒成立．
設(shè)m（x）=xlnx，m′（x）=1+lnx，當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{e}$）時(shí)，m′（x）＜0，m（x）遞減；
當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時(shí)，m′（x）＞0，m（x）遞增．
可得m（x）在x=$\frac{1}{e}$處取得極小值，且為最小值-$\frac{1}{e}$；
設(shè)n（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，n′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，n′（x）＞0，n（x）遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，n′（x）＜0，n（x）遞減．
可得n（x）在x=1處取得極大值，且為最大值$\frac{1}{e}$-$\frac{2}{e}$=-$\frac{1}{e}$．
由于最值不同時(shí)取得，即有xlnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$在x＞0恒成立．
則當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞g（x）-x恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法，求得單調(diào)區(qū)間和最值，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．