Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+1，-1≤x≤0}\\{f（x-1）+1，x＞0}\end{array}\right.$，將函數(shù)g（x）=f（x）-x-1的零點(diǎn)按從小到大的順序排列，構(gòu)成數(shù)列{a_n}，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為（　　）

• A． a_n=n-1
• B． a_n=n-2
• C． a_n=n（n-1）
• D． a_n=2ⁿ-2

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+1，-1≤x≤0}\\{f（x-1）+1，x＞0}\end{array}\right.$，h（x）=x+1，畫(huà)出圖象，得出等差數(shù)列即可得出數(shù)列通項(xiàng)公式．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+1，-1≤x≤0}\\{f（x-1）+1，x＞0}\end{array}\right.$，
h（x）=x+1，f（x）=f（x-1）+1，x＞0，
函數(shù)的x增加1，函數(shù)值增加1，
作出y=f（x）和y=h（x）的圖象，如圖：
根據(jù)f（x）與y=x+1的交點(diǎn)判斷
函數(shù)g（x）=f（x）-x-1的零點(diǎn)，
a₁=-1，a₂=0，a₃=1，
通過(guò)圖象可判斷{a_n}為等差數(shù)列，
得出：a_n=n-2，
故選；B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)，與函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，屬于運(yùn)用圖象，結(jié)合等差數(shù)列的知識(shí)綜合考查的題目，關(guān)鍵是運(yùn)用分段函數(shù)畫(huà)出圖象．