Question

9．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若f（x）在x∈[4，12]上的最大值為c，且C=$\frac{π}{3}$．求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，可得函數(shù)y=f（x）的解析式．
（Ⅱ）在△ABC中，由條件求出c，再利用余弦定理求得ab的最大值為1，可得△ABC的面積為$\frac{1}{2}$ab•sinC 的最大值．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象可得A=$\sqrt{2}$，$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=6+2，∴ω=$\frac{π}{8}$．
再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得-2×$\frac{π}{8}$+φ=0，∴φ=$\frac{π}{4}$，∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$）．
（Ⅱ）在△ABC中，f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$）在x∈[4，12]上的最大值為c=1（此時(shí)，x=4）．
由C=$\frac{π}{3}$，利用余弦定理可得c²=1=a²+b²-2ab•cosC≥2ab-ab=ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)，
故ab的最大值為1．
則△ABC的面積為$\frac{1}{2}$ab•sinC=$\frac{1}{2}$×ab×$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$，故△ABC的面積的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值．還考查了余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．