Question

3．已知存在實數(shù)α，使得關(guān)于x的不等式$\sqrt{x}+\sqrt{4-x}≥α$有解，則α的最大值為（　�。�

• A． 2
• B． $2\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 8

Answer 1

分析 關(guān)于x的不等式$\sqrt{x}+\sqrt{4-x}≥α$有解，求出 $\sqrt{x}+\sqrt{4-x}$的最大值即可．

解答 解：先證明（$\sqrt{a}$+$\sqrt$）²≤2（a+b）
∵a≥0，b≥0時，a+b≥2$\sqrt{ab}$，
∴2（a+b）≥a+b+2$\sqrt{ab}$，
即（$\sqrt{a}$+$\sqrt$）²≤2（a+b）
∴（$\sqrt{x}+\sqrt{4-x}$）²≤2（x+4-x）=8，
∴$\sqrt{x}+\sqrt{4-x}$≤2$\sqrt{2}$，
故$\sqrt{x}+\sqrt{4-x}$的最大值為2$\sqrt{2}$，
若關(guān)于x的不等式$\sqrt{x}+\sqrt{4-x}≥α$有解，
則α的最大值為2$\sqrt{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是求出$\sqrt{x}+\sqrt{4-x}$的最大值．