Question

18．設(shè)f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），且f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）=$\frac{x}{1-{3}^{x}}$．
（1）求當(dāng)x＜0時，f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x）＜-$\frac{x}{8}$．

Answer 1

分析 （1）可設(shè)x＜0，則有-x＞0，從而可得出f（-x），從而求出f（x）=$\frac{x}{1-{3}^{-x}}$；
（2）分x＞0和x＜0時，帶入f（x）的解析式便可得到$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{\frac{x}{1-{3}^{x}}＜-\frac{x}{8}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{\frac{x}{1-{3}^{-x}}＜-\frac{x}{8}}\end{array}\right.$，這樣便可解出這兩個不等式組，從而得出原不等式的解集．

解答 解：（1）設(shè)x＜0，-x＞0，則$f（-x）=\frac{-x}{1-{3}^{-x}}=-f（x）$；
∴f（x）=$\frac{x}{1-{3}^{-x}}$；
（2）①x＞0時，由$f（x）＜-\frac{x}{8}$得，$\frac{x}{1-{3}^{x}}＜-\frac{x}{8}$；
∴$\frac{1}{1-{3}^{x}}＜-\frac{1}{8}$；
∴3^x＜9；
∴0＜x＜2；
②x＜0時，$\frac{x}{1-{3}^{-x}}＜-\frac{x}{8}$；
∴$\frac{1}{1-{3}^{-x}}＞-\frac{1}{8}$；
∴3^-x＞9；
∴x＜-2；
綜上得，原不等式的解集為（-∞，-2）∪（0，2）．

點(diǎn)評 考查奇函數(shù)的定義，對于奇函數(shù)，已知x＞0時的解析式，求對稱區(qū)間上的解析式的方法，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，不等式的性質(zhì)．