Question

13．如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=$\sqrt{2}$，AA₁=3，E為CD上一點(diǎn)，DE=1，EC=3．
（1）求BE和BC的長(zhǎng)；
（2）證明：BE⊥平面BB₁C₁C．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)B作BF⊥CD于F點(diǎn)，則BF=AD=$\sqrt{2}$，EF=AB=DE=1，F(xiàn)C=2，由此利用勾股定理能求出BE和BC的長(zhǎng)．
（2）由勾股定理的逆定理得BE⊥BC，由線面垂直得BE⊥BB₁，由此能證明BE⊥平面BB₁C₁C．

解答 （1）解：過點(diǎn)B作BF⊥CD于F點(diǎn)，則：
BF=AD=$\sqrt{2}$，EF=AB=DE=1，F(xiàn)C=2，
在Rt△BEF中，BE=$\sqrt{B{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
在Rt△BCF中，BC=$\sqrt{B{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{6}$．
（2）證明：在△BCE中，∵BE=$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{6}$，CE=3，
∴BE²+BC²=CE²，
∴∠CBE=90°，∴BE⊥BC，
∵BB₁⊥平面iBCD，BE?平面BCD，
∴BE⊥BB₁，
又∵BC、BB₁是平面BB₁C₁C內(nèi)的相交直線，
∴BE⊥平面BB₁C₁C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段長(zhǎng)的求法，考查線面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．