Question

1．設(shè)已知三條直線l₁：mx-y+m=0，l₂：x+my-m（m+1）=0，l₃：（m+1）x-y+（m+1）=0，它們圍成△ABC．
（1）求證：不論m為何值，△ABC有一個(gè)頂點(diǎn)為定點(diǎn)；
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，△ABC面積有最大值和最小值，并求此最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立方程得出l₁，l₃交于A（-1，0），l₂，l₃交于B（0，m+1）從而可以證明結(jié)論．
（2）首先根據(jù)條件得出角C為直角，從而得出S=$\frac{1}{2}$|AC|•|BC|，再利用點(diǎn)到直線的距離公式得出BC，AC，然后利用均值不等式求出，$\frac{1}{m+\frac{1}{m}}$的最值，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：根據(jù)題意得 l₁，l₃交于A（-1，0）l₂，l₃交于B（0，m+1）
∴不論m取何值時(shí)，△ABC中總有一個(gè)頂點(diǎn)為定點(diǎn)（-1，0）
（2）解：從條件中可以看出l₁、l₂垂直
∴角C為直角，
∴S=$\frac{1}{2}$|AC|•|BC|
|BC|等于點(diǎn)（0，m+1）到l₁的距離d=$\frac{|-m-1+m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$
|AC|等于（-1，0）到l₂的距離d=$\frac{{m}^{2}+m+1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$
S=$\frac{1}{2}$×$\frac{{m}^{2}+m+1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$[1+$\frac{1}{m+\frac{1}{m}}$]
當(dāng)m＞0時(shí)，$\frac{1}{m+\frac{1}{m}}$有最大值$\frac{1}{2}$
同理，當(dāng)m＜0時(shí)，$\frac{1}{m+\frac{1}{m}}$有最小-$\frac{1}{2}$
∴m=1時(shí)S取最大值為$\frac{3}{4}$，m=-1時(shí)S取最小值$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)以及基本不等式的最值問(wèn)題，此題有一定難度，屬于中檔題．