Question

4．為迎接2015級(jí)新生，合肥一中暑期對(duì)教學(xué)樓窗戶作加固，制作如圖所示的窗戶框架．窗戶框架用料12m，下部為矩形，上部為半圓形，假設(shè)半圓半徑為xm．
（1）求此框架?chē)�成的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x），并寫(xiě)出它的定義域；
（2）半圓的半徑是多長(zhǎng)時(shí)，窗戶的透光面積最大？并求該最大面積．

Answer 1

分析 （1）下部為矩形，上部為半圓形的框架窗戶，分別計(jì)算其面積，可得框架?chē)�成的面積y與x的函數(shù)式y(tǒng)=f （x），根據(jù)實(shí)際意義，可寫(xiě)出它的定義域；
（2）利用配方法，可求函數(shù)的最值．

解答 解：（1）由題意可知，下部為矩形，一邊長(zhǎng)為2x米，另一邊長(zhǎng)為$\frac{12-πx-2x}{2}$米，
∴f（x）=$\frac{π{x}^{2}}{2}$+2x•$\frac{12-πx-2x}{2}$=（-$\frac{π}{2}$-2）x²+12x，
由$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{\frac{12-πx-2x}{2}＞0}\end{array}\right.$，可得0＜x＜$\frac{12}{π+2}$，
定義域?yàn)椋海?，$\frac{12}{π+2}$）；
（2）∵x∈（0，$\frac{12}{π+2}$），函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，
即有f（x）=-$\frac{π+4}{2}$（x-$\frac{12}{π+4}$）²+$\frac{72}{π+4}$，
∴當(dāng)x=$\frac{12}{π+4}$時(shí)，函數(shù)取最大值，
故當(dāng)半圓半徑為$\frac{12}{π+4}$時(shí)，窗戶的透光面積的最大值為$\frac{72}{π+4}$m²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的重點(diǎn)是函數(shù)模型的構(gòu)建及二次函數(shù)的最值的求法，解題的關(guān)鍵是正確表示出上、下兩部分的面積．