8.如圖,已知平行四邊形ABCD,點M1,M2,M3,…,Mn-1和N1,N2,N3,…,Nn-1分別將線段BC和DCn等分(n∈N*,n≥2),若$\overrightarrow{A{M}_{1}}$$+\overrightarrow{A{M}_{2}}$+…$+\overrightarrow{A{M}_{n-1}}$+$\overrightarrow{A{N}_{1}}$$+\overrightarrow{A{N}_{2}}$+…$+\overrightarrow{A{N}_{n-1}}$=30$\overrightarrow{AC}$,則n=( 。
A.20B.21C.22D.23

分析 如圖所示,利用向量的三角形法則可得:$\overrightarrow{A{M}_{n-1}}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{n-1}{n}$$\overrightarrow{BC}$,$\overrightarrow{A{N}_{n-1}}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{n-1}{n}$$\overrightarrow{DC}$.相加即可得出答案.

解答 解:如圖所示,
∵點M1,M2,M3,…,Mn-1和N1,N2,N3,…,Nn-1分別將線段BC和DC進行n等分,
∴$\overrightarrow{A{M}_{n-1}}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{n-1}{n}$$\overrightarrow{BC}$,$\overrightarrow{A{N}_{n-1}}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{n-1}{n}$$\overrightarrow{DC}$.
∴$\overrightarrow{A{M}_{1}}$$+\overrightarrow{A{M}_{2}}$+…$+\overrightarrow{A{M}_{n-1}}$+$\overrightarrow{A{N}_{1}}$$+\overrightarrow{A{N}_{2}}$+…$+\overrightarrow{A{N}_{n-1}}$=n($\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$)+($\frac{1}{n}$+$\frac{2}{n}$+…+$\frac{n-1}{n}$)($\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{DC}$)
=n($\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$)+($\frac{1}{n}$+$\frac{2}{n}$+…+$\frac{n-1}{n}$)($\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$)
=$\frac{3(n-1)}{2}$($\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$)
=$\frac{3(n-1)}{2}$$\overrightarrow{AC}$=30$\overrightarrow{AC}$,
解得n=21.
故選:B.

點評 本題考查了向量的三角形法則、等差數(shù)列的前n項和公式、向量的平行四邊形法則,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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