Question

已知函數f（x）=x+

2

x

+alnx
（1）若f（x）在x=1處取得極值．求a的值；
（2）若f（x）在[1，2]上為減函數，求a的取值范圍；
（3）若g（x）=f（x）-x，當a＞0時，是否存在a使得g（x）在（0，e]上有最小值0，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（1）求導函數，利用f（x）在x=1處取得極值．建立方程，可求a、b的值
（2）若f（x）在[1，2]上為減函數，則f′（x）=1-

2

x2

+

a

x

≤0恒成立，利用分離參數法得出a≤

2

x

-x，只需a≤（

2

x

-x）_min，轉化為求≤（

2

x

-x）_min
（3）g（x）=f（x）-x=

2

x

+alnx，g′（x）=-

2

x2

+

a

x

=

ax-2

x2

．由ax-2=0，得x=

2

a

．分0＜

2

a

＜e，

2

a

≥e分別求出最小值，解關于a的方程得出a

解答： 解：（1）求導函數，f′（x）=1-

2

x2

+

a

x

，f（x）在x=1處取得極值，f′（1）=0，a=1．
（2）若f（x）在[1，2]上為減函數，則f′（x）=1-

2

x2

+

a

x

≤0恒成立，即x²+ax-2≤0，
a≤

2

x

-x，只需a≤（

2

x

-x）_min，（

2

x

-x）′=-

2

x2

-1＜0，

2

x

-x單調遞減，當x=2時，（

2

x

-x）_min，=-1，
所以a的取值范圍a≤-1；
（3）g（x）=f（x）-x=

2

x

+alnx，g′（x）=-

2

x2

+

a

x

=

ax-2

x2

．
由ax-2=0，得x=

2

a

（＞0），
當0＜

2

a

＜e①時，若x∈（0，

2

a

）則g′（x）＜0，若x∈（

2

a

，e）則g′（x）＞0，
所以此時g（x）最小值=g（

2

a

）=a+aln

2

a

=0，

2

a

=

1

e

，a=2e，符合①．
 當

2

a

≥e②時，g′（x）＜0，此時g（x）最小值=g（e）=

2

e

+a=0，a=-

2

e

（舍去）
綜上所述，a=2e．

點評：本題考查導數知識的綜合運用，考查函數的極值求解，不等式恒成立，分類討論的能力．