Question

15．已知0＜x＜1，若復(fù)數(shù)$z=\sqrt{x}+i\sqrt{sinx}$所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)有n個(gè)在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上，則n=1．

Answer 1

分析 求出復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用曲線的參數(shù)方程求得z所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡，由單調(diào)性可得函數(shù)$y=\sqrt{sin{x}^{2}}$（0＜x＜1，0＜y＜1）與單位圓x²+y²=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．

解答 解：復(fù)數(shù)$z=\sqrt{x}+i\sqrt{sinx}$所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\sqrt{x}，\sqrt{sinx}$），
則由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=\sqrt{x}}\\{{y}^{′}=\sqrt{sinx}}\end{array}\right.$，得${y}^{′}=\sqrt{sin（{x}^{′}）^{2}}$（0＜x′＜1，0＜y′＜1）．
∴z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為$y=\sqrt{sin{x}^{2}}$（0＜x＜1，0＜y＜1）．
∵函數(shù)$y=\sqrt{sin{x}^{2}}$為定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，
∴函數(shù)$y=\sqrt{sin{x}^{2}}$（0＜x＜1，0＜y＜1）與單位圓x²+y²=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查了曲線的參數(shù)方程，考查兩曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，是中檔題．