Question

9．數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，$\sqrt{\frac{1}{{a}_{n}^{2}}+2}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$（n∈N^*），記b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}•{2}^{n}}$，則數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 首項對已知等式變形為$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}-\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=2，得到數(shù)列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求出通項公式，從而得到數(shù)列{b_n}的通項公式根據(jù)其格式特點，利用錯位相減法求和即可．

解答 解：由已知得到$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}-\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=2，
所以數(shù)列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=2n-1，
所以b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}•{2}^{n}}=\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
所以S_n=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{5}{{2}^{3}}+…+\frac{2n-3}{{2}^{n-1}}+\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+\frac{5}{{2}^{4}}+…+\frac{2n-3}{{2}^{n}}+\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，②
②-①得$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+…+\frac{2}{{2}^{n}}-\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}+\frac{\frac{2}{{2}^{2}}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}-\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{{2}^{n+1}}$，
所以S_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．
故答案為：3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式的求法以及利用錯位相減法求數(shù)列的和；屬于中檔題．