Question

3．已知函數(shù)f（x）=|x-a|+|x-2|，a＞0．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，解不等式f（x）＜4；
（2）若正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，且不等式f（x）$≥\frac{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}{b+c}$對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的最小值，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b的不等式組，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）a=3時(shí)，函數(shù)f（x）=|x-3|+|x-2|，
表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到2，3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
而$\frac{1}{2}$和$\frac{9}{2}$對(duì)應(yīng)點(diǎn)到2、3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好是4，
故不等式f（x）＜4的解集是（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{2}$）；
（2）∵f（x）=|x-a|+|x-2|≥|a-2|=2-a，
由題意得2-a$≥\frac{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}{b+c}$，
即（2-a）（1-a）≥a²+b²+c²①，
正實(shí)數(shù)b，c滿足a+b+c=1，
∴（1-a）²=（b+c）²≤2（b²+c²），
∴$\frac{{（1-a）}^{2}}{2}$≤b²+c²②，
綜合①②可得（1-a）（2-a）≥a²+$\frac{{（1-a）}^{2}}{2}$，
即a²+4a-3≤0，
再結(jié)合0＜a＜1，
解得：0＜a≤$\sqrt{7}$-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值的幾何意義，考查解不等式問題，是一道中檔題．