Question

20．判斷函數(shù)f（x）=$\frac{2x}{x-1}$的單調(diào)性，并證明之．

Answer 1

分析 任取1＜x₁＜x₂，我們構(gòu)造出f（x₂）-f（x₁）的表達(dá)式，根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)，我們易出f（x₂）-f（x₁）的符號(hào)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，得到答案．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域是（-∞，1）∪（1，+∞），
函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）是單調(diào)減函數(shù)．理由如下：
設(shè)1＜x₁＜x₂，f（x₂）-f（x₁）=$\frac{{2x}_{2}}{{x}_{2}-1}$-$\frac{{2x}_{1}}{{x}_{1}-1}$=$\frac{-2{（x}_{1}{+x}_{2}）}{{（x}_{1}-1）{（x}_{2}-1）}$，
因?yàn)?＜x₁＜x₂，所以x₁+x₂＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
所以f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）
所以f（x）在區(qū)間（1，+∞）是單調(diào)減函數(shù)，
同理可證f（x）在（-∞，1）是單調(diào)遞減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，其中作差法（定義法）證明函數(shù)的單調(diào)性是我們中學(xué)階段證明函數(shù)單調(diào)性最重要的方法，一定要掌握其解的格式和步驟．