Question

12．求下列函數(shù)的定義域和值域：
（1）y=2${\;}^{\frac{1}{x+1}}$；
（2）y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{-{x}^{2}+2x+1}$；
（3）y=4^x+2^x+1+3．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)的定義域，值域．
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)的定義域，值域．
（3）根據(jù)指數(shù)函數(shù)和一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)的定義域，值域．

解答 解：（1）要使函數(shù)有意義，在x+1≠0，即x≠-1，即函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠-1}，
設(shè)t=$\frac{1}{x+1}$，則t≠0，
則y=2^t≠1，即函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≠1}．
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，+∞），
∵-（x-1）²+2≤2，
∴y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{-{x}^{2}+2x+1}$$≥（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$；
即函數(shù)的值域?yàn)閇$\frac{1}{4}$，+∞）
（3）函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，+∞），
y=4^x+2^x+1+3=（2^x）²+2•2^x+3=（2^x+1）²+2，
∵2^x＞0，
∴y=（2^x+1）²+2＞（0+1）²+2=3，
即函數(shù)的值域?yàn)椋?，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的考查，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．