Question

2．已知圓C：x²+y²-8y+12=0，直線l：ax+y+2a=0
（1）當直線l與圓C相切時，求a的值；
（2）當a=-1時，直線l與圓C相交于A，B兩點，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）由條件利用圓的標準方程求出圓心和半徑，再根據(jù)直線和圓相切的性質，求得a的值．
（2）由題意可求得圓心C到直線l的距離為d=$\frac{|0-4+2|}{\sqrt{2}}$ 的值，再利用弦長公式求得|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$ 的值．

解答 解：（1）∵圓C：x²+y²-8y+12=0，即x²+（y-4）² =4，
表示以C（0，4）為圓心，半徑等于2的圓；
∵直線l：ax+y+2a=0，
當直線l與圓C相切時，圓心到直線的距離等于半徑，
即$\frac{|0+4+2a|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=2，求得a=-$\frac{3}{4}$．
（2）當a=-1時，直線l即-x+y-2=0，即 x-y+2=0，
圓心C到直線l的距離為d=$\frac{|0-4+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
故弦長|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=2$\sqrt{4-2}$=2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查圓的標準方程，直線和圓相切的性質，點到直線的距離公式、弦長公式的應用，屬于中檔題．