Question

13．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，A是銳角，且$\sqrt{3}$b=2asinB，若a=2，則△ABC的面積的最大值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 根據(jù)正弦定理，將已知等式化簡(jiǎn)可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，結(jié)合A為銳角，即可得解A的值，利用余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算公式即可得出．

解答 （本題滿分為14分）
解：∵$\sqrt{3}$b=2asinB，
∴由正弦定理，得：$\sqrt{3}$sinB=2sinAsinB，
∵B為三角形內(nèi)角，可得sinB＞0，…（3分）
∴2sinA=$\sqrt{3}$，得到sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…（5分）
∵A為銳角，
∴A=$\frac{π}{3}$．
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，可得：4=b²+c²-bc，
∴4≥2bc-bc=bc，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
∴△ABC的面積的最大值是$\sqrt{3}$．…（14分）
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題給出三角形的邊角關(guān)系，求A的大小，同時(shí)考查余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算公式，考查了運(yùn)算求解能力和邏輯思維能力，屬于中檔題．