已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，2）．
（1）若
DB
∥
AC
，
DC
∥
AB
，求點D的坐標；
（2）問是否存在實數(shù)α，β，使得
AC
=α
AB
+β
BC
成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，說明理由．
考點：平面向量共線（平行）的坐標表示,平面向量的基本定理及其意義
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（1）設(shè)D（x，y，z），由于
DB
∥
AC
，
DC
∥
AB
，利用向量共線定理可得存在實數(shù)λ，μ使得
DB
=λ
AC
，
DC
=μ
AB
．解出即可．
（2）假設(shè)存在實數(shù)α，β，使得
AC
=α
AB
+β
BC
成立．則（-1，0，2）=α（-1，1，0）+β（0，-1，2），利用向量運算及其相等即可得出．
解答： 解：（1）設(shè)D（x，y，z），
∵
DB
∥
AC
，
DC
∥
AB
，
∴存在實數(shù)λ，μ使得
DB
=λ
AC
，
DC
=μ
AB
．
∴
-x=-λ
1-y=0
-z=2λ
，
-x=-μ
-y=μ
2-z=0
，
解得x=-1，y=1，z=2．
∴D（-1，1，2）．
（2）假設(shè)存在實數(shù)α，β，使得
AC
=α
AB
+β
BC
成立．
則（-1，0，2）=α（-1，1，0）+β（0，-1，2），
∴
-α=-1
α-β=0
2β=2
，
解得α=β=1，
因此存在實數(shù)α=β=1，使得
AC
=α
AB
+β
BC
成立．
點評：本題考查了向量共線定理、向量運算及其相等，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A+B=225°，求
1
1+tanA
•
1
1+tanB
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若向量
a
=（
3
223
，m）與
b
=（m，2007）的方向相反，則實數(shù)m的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F1作x軸的垂線l，點P為直線l與橢圓的一個交點，F(xiàn)2為橢圓的右焦點，若∠F1PF2=60°，則直線
x
a
+
y
b
=1的斜率是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知O是△ABC外心，若
AO
=
2
5
AB
+
1
5
AC
，則cos∠BAC=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

以邊長為2的正方形的四個頂點為圓心各作一個半徑為1的四分之一圓周，如圖，現(xiàn)向正方體內(nèi)任投一質(zhì)點，則質(zhì)點落入圖中陰影部分的概率為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)斜率為
2
2
的直線l與雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）交于不同的兩點P、Q，若點P、Q在x軸上的射影恰好為雙曲線的兩個焦點，則該雙曲線的離心率是（　　）
A、
2
B、2
C、
3
D、3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=
1
2
AA1，D是棱AA1的中點，求二面角A1-BD-C1的大小（用空間向量法）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，AB=4，AC=3，BC邊的垂直平分線交AB于點P，則
AP
•
BC
的值為（　�。�
A、7
B、
7
2
C、-7
D、-
7
2

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