Question

10．已知x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≥0}\\{x+2y-7≤0}\\{ax-y-2≤0}\end{array}\right.$，且x²+y²的最小值為8，則正實數(shù)a的取值范圍為（0，2]．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)x²+y²的最小值為8，確定直線ax-y-2=0滿足的條件即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)z=x²+y²，
則z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到原點的距離的平方，
圓心到直線x+y-4=0的距離d=$\frac{|-4|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，
此時d²=（2$\sqrt{2}$）²=8，滿足x²+y²的最小值為8，
即切點F在區(qū)域ABC內(nèi)，
即F在ax-y-2=0的上方，
∵x+y-4=0的斜率為-1，OF⊥AC，
∴OF的斜率k=1，即OF的直線方程為y=x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
即F（2，2），
則滿足2a-2-2≤0，
解得a≤2，
∵a＞0，∴0＜a≤2，
故答案為：（0，2]．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)條件確定直線ax-y-2=0滿足的條件，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．