Question

2．橢圓C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A₁，過點(diǎn)F斜率為k的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為G，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，記△GFD的面積為S₁，記△OED的面積為S₂
（I），求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用k表示）；
（II）求$\frac{{2{S_1}{S_2}}}{S_1^2+S_2^2}$的范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1），并設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程，由韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得G的坐標(biāo)，利用DG⊥AB，求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用k表示）；
（II）由三角形相似的性質(zhì)，可得面積比為對(duì)應(yīng)邊的平方比，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可得到所求范圍．

解答 解：（I）將y=k（x+1）代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$中可得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0
則${x_1}+{x_2}=-\frac{{8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$，${y_1}+{y_2}=\frac{6k}{{4{k^2}+3}}$----（3分）
所以G（$-\frac{{4{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$，$\frac{3k}{{4{k^2}+3}}$）----（5分）
因?yàn)镈G⊥AB，則$\frac{\frac{3k}{4{k}^{2}+3}}{-\frac{4{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}-{x}_{D}}•k=-1$，所以x_D=$-\frac{k^2}{{4{k^2}+3}}$．
所以 D（$-\frac{k^2}{{4{k^2}+3}}$，0）----（7分）
（II）△GFD與△OED相似，則$\frac{S_1}{S_2}=\frac{{G{D^2}}}{{O{D^2}}}$=$9+\frac{9}{k^2}$＞9----（10分）
令$\frac{S_1}{S_2}=t$，則t＞9，從而$\frac{{2{S_1}{S_2}}}{S_1^2+S_2^2}$=$\frac{2}{{t+\frac{1}{t}}}$$＜\frac{2}{{9+\frac{1}{9}}}=\frac{9}{41}$----（13分）
所以$\frac{{2{S_1}{S_2}}}{S_1^2+S_2^2}∈$$（0，\frac{9}{41}）$----（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查三角形相似的性質(zhì)：三角形的面積之比為相似比的平方，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．