Question

17．在△ABC中，a，b，c分別是三內(nèi)角A，B，C的對邊，且3cosB=2sin（$\frac{π}{3}$+A）•sin（$\frac{π}{3}$-A）+2sin²A．
（1）求角B的值；
（2）若b=2$\sqrt{3}$，求三角形ABC周長的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得$cosB=\frac{1}{2}$，結(jié)合B的范圍即可得解B的值．
（2）由已知及正弦定理得$a=4sinA，c=4sin（\frac{2}{3}π-A）$，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得三角形ABC周長l=4$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）+2$\sqrt{3}$，結(jié)合A的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解其最大值．

解答 解：（1）因?yàn)?3cosB=2sin（\frac{π}{3}+A）•sin（\frac{π}{3}-A）+2{sin^2}A$
=$2（\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA）（\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA-\frac{1}{2}sinA）+2{sin^2}A=\frac{3}{2}{cos^2}A+\frac{3}{2}{sin^2}A=\frac{3}{2}$，
所以$cosB=\frac{1}{2}$，
因?yàn)锽是三角形的內(nèi)角，
所以$B=\frac{π}{3}$．
（2）正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{sin\frac{π}{3}}}=4$，
所以$a=4sinA，c=4sin（\frac{2}{3}π-A）$，
因此三角形ABC周長$l=4sinA+4sin（\frac{2}{3}π-A）+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）+2\sqrt{3}$，
因?yàn)?0＜A＜\frac{2}{3}π$，
所以當(dāng)$A=\frac{π}{3}$時，${l_{max}}=6\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．