Question

1．定義在R上的函數(shù)y=f（x）的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足f（3-x）=f（x），當(dāng)x≠$\frac{3}{2}$時(shí)總有（x-$\frac{3}{2}$）f′（x）＞0（f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)），若x₁＜x₂，且x₁+x₂＞3，則（　�。�

• A． f（x₁）＞f（x₂）
• B． f（x₁）＜f（x₂）
• C． f（x₁）=f（x₂）
• D． f（x₂）與f（x₂）的大小無(wú)法確定

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件便可得到f（x）關(guān)于x=$\frac{3}{2}$對(duì)稱，在區(qū)間$（-∞，\frac{3}{2}）$上單調(diào)遞減，而在$（\frac{3}{2}，+∞）$上單調(diào)遞增，從而可以畫(huà)出f（x）的大致圖象，根據(jù)圖象上的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為3并結(jié)合圖象即可判斷出f（x₁）和f（x₂）的大小關(guān)系．

解答 解：根據(jù)f（3-x）=f（x）知f（x）關(guān)于x=$\frac{3}{2}$對(duì)稱；
當(dāng)x$≠\frac{3}{2}$時(shí)，總有$（x-\frac{3}{2}）f′（x）＞0$；
∴$x∈（-∞，\frac{3}{2}）$時(shí)f（x）單調(diào)遞減，$x∈（\frac{3}{2}，+∞）$時(shí)f（x）單調(diào)遞增；
∴f（x）的大致形狀如下圖所示：

x₁+x₂＞3，∴（1）若${x}_{1}∈（-∞，\frac{3}{2}），{x}_{2}∈（\frac{3}{2}，+∞）$，作點(diǎn)（x₁，f（x₁））關(guān)于x=$\frac{3}{2}$的對(duì)稱點(diǎn)為（x₃，f（x₃）），則：
x₁+x₃=3；
∴x₂＞x₃；
∴f（x₂）＞f（x₃）=f（x₁）；
即f（x₂）＞f（x₁）；
（2）若${x}_{1}，{x}_{2}∈[\frac{3}{2}，+∞）$，x₁＜x₂；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴綜上得f（x₁）＜f（x₂）．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 考查由f（a-x）=f（x）能得到f（x）關(guān)于$x=\frac{a}{2}$對(duì)稱，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及數(shù)形結(jié)合解題的方法．