Question

6．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，若a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n•2ⁿ．

Answer 1

分析 a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹（n≥1），變形為$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹（n≥1），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，
∴數(shù)列$\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+（n-1）=n，
a_n=n•2ⁿ．
故答案為：n•2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推公式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔．