Question

18．等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a₁+3a₂=1，a₃=3$\sqrt{{a}_{2}{a}_{6}}$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡(jiǎn)可得2a₁+3a₁q=1，a₃=3$\sqrt{{a}_{2}{a}_{6}}$=3a₄，從而求得a_n；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$），T_n=$\frac{1}{{S}_{1}}$-$\frac{1}{{S}_{n+1}}$=3-$\frac{2•{3}^{n+1}}{{3}^{n+1}-1}$=1-$\frac{2}{{3}^{n+1}-1}$．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵a_n＞0，q＞0；
∴2a₁+3a₁q=1，a₃=3$\sqrt{{a}_{2}{a}_{6}}$=3a₄，
∴a₁=$\frac{1}{3}$，q=$\frac{1}{3}$；
故a_n=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$=$\frac{1}{{3}^{n}}$；
（Ⅱ）S_n=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$），
T_n=（$\frac{1}{{S}_{1}}$-$\frac{1}{{S}_{2}}$）+（$\frac{1}{{S}_{2}}$-$\frac{1}{{S}_{3}}$）+…+（$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n+1}}$）
=$\frac{1}{{S}_{1}}$-$\frac{1}{{S}_{n+1}}$
=3-$\frac{2•{3}^{n+1}}{{3}^{n+1}-1}$=1-$\frac{2}{{3}^{n+1}-1}$，
故T_n=1-$\frac{2}{{3}^{n+1}-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了拆項(xiàng)求和法的應(yīng)用．