分析 (1)由已知中f(x)=$\frac{f′(1)}{2}$•e2x-2+x2-2f(0)x,可得f′(x)=f′(1)•e2x-2+2x-2f(0),進(jìn)而可得f(0)=1,f′(1)=2e2,進(jìn)而得到函數(shù)f(x)的解析式;
(2)由(1)得:f(x)=e2x+x2-2x,即g(x)=f($\frac{x}{2}$)-$\frac{1}{4}$x2+(1-a)x+a=ex-a(x-1),g′(x)=ex-a,對(duì)a進(jìn)行分類討論,可得不同情況下函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當(dāng)x>y>e-1時(shí),h(x)=$\frac{{e}^{x}}{ln(x+1)}$在(e-1,+∞)上單調(diào)遞增,進(jìn)而得到ex-y>$\frac{ln(x+1)}{ln(y+1)}$.
解答 解:(1)∵f(x)=$\frac{f′(1)}{2}$•e2x-2+x2-2f(0)x,
∴f′(x)=f′(1)•e2x-2+2x-2f(0),
∴f′(1)=f′(1)+2-2f(0),
即f(0)=1.
又∵f(0)=$\frac{f′(1)}{2}$•e-2,…(2分)
所以f′(1)=2e2,
所以f(x)=e2x+x2-2x.…(3分)
(2)∵f(x)=e2x+x2-2x,
∴g(x)=f($\frac{x}{2}$)-$\frac{1}{4}$x2+(1-a)x+a=ex-a(x-1),
∴g′(x)=ex-a.…(4分)
①當(dāng)a≤0時(shí),g′(x)>0恒成立,函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增; …(5分)
②當(dāng)a>0時(shí),由′(x)=ex-a=0得x=lna,
當(dāng)x∈(-∞,lna)時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(lna,+∞)時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.…(6分)
綜上,當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞);
當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(lna,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,lna).…(7分)
(3)證明:ex-y>$\frac{ln(x+1)}{ln(y+1)}$?$\frac{{e}^{x}}{ln(x+1)}$>$\frac{{e}^{y}}{ln(y+1)}$,
令h(x)=$\frac{{e}^{x}}{ln(x+1)}$,則只要證明h(x)在(e-1,+∞)上單調(diào)遞增,
又∵h(yuǎn)′(x)=$\frac{{e}^{x}[ln(x+1)-\frac{1}{x+1}]}{l{n}^{2}(x+1)}$,
顯然函數(shù)u(x)=$ln(x+1)-\frac{1}{x+1}$在(e-1,+∞)上單調(diào)遞增.
∴u(x)>1-$\frac{1}{e}$>0,即h′(x)>0,
∴h(x)在(e-1,+∞)上單調(diào)遞增,
即$\frac{{e}^{x}}{ln(x+1)}$>$\frac{{e}^{y}}{ln(y+1)}$,
∴當(dāng)x>y>e-1時(shí),有ex-y>$\frac{ln(x+1)}{ln(y+1)}$..…(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)解析式的求法,難度中檔.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | -2 | B. | 0 | C. | 2 | D. | 2015 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | $({0,\frac{{2-\sqrt{2}}}{2}})$ | B. | $({2-\sqrt{2},1})$ | C. | $({1,2+\sqrt{2}}]$ | D. | $({-∞,2+\sqrt{2}}]$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | 2 | C. | 8 | D. | 4 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | f(x)=|x+1|,g(x)=$\left\{\begin{array}{l}{x+1(x≥-1)}\\{-1-x(x<-1)}\end{array}\right.$ | B. | f(x)=$\frac{{x}^{2}-1}{x+1}$,g(x)=x-1 | ||
C. | f(x)=$\sqrt{{x}^{2}}$,g(x)=($\sqrt{x}$)2 | D. | f(x)=x,g(x)=$\sqrt{{x}^{2}}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 0<m<10 | B. | 0<m<5 | C. | m>5 | D. | m<5 |
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