14.已知橢圓E的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,且橢圓的焦距為2,離心率為e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$﹒
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)(1,0)作直線l交E于P、Q兩點(diǎn),試問:在x軸上是否存在一個定點(diǎn)M,使$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$為定值?若存在,求出這個定點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

分析 (I)設(shè)橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0),由已知得:2c=2,$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,b2=a2-c2,聯(lián)立解得即可得出.
(Ⅱ)符合條件的點(diǎn)M存在,其坐標(biāo)為$(\frac{5}{4},0)$.證明如下:假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M(m,0),又設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則:$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2.分類討論:①當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為:y=k(x-1),與橢圓方程聯(lián)立化為(2k2+1)x2-4k2x+(2k2-2)=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系可得$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=$\frac{(2{m}^{2}-4m+1){k}^{2}+{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$,對于任意的k值,上式為定值,所以2m2-4m+1=2(m2-2),解得m.
②當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線l:x=1,x1x2=1,x1+x2=2,y1y2=-$\frac{1}{2}$.由m=$\frac{5}{4}$,代入得$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$即可得出.

解答 解:(I)設(shè)橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0),
由已知得:2c=2,$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,b2=a2-c2
聯(lián)立解得c=1,b=1,a=$\sqrt{2}$.
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1.
(Ⅱ)符合條件的點(diǎn)M存在,其坐標(biāo)為$(\frac{5}{4},0)$.證明如下:
假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M(m,0),又設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則:
$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2
①當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為:y=k(x-1),
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k(x-1)}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$,得(2k2+1)x2-4k2x+(2k2-2)=0,
∴x1+x2=$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$,x1•x2=$\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$,
y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[-(x1+x2)+x1•x2+1]=-$\frac{{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$.
∴$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=$\frac{(2{m}^{2}-4m+1){k}^{2}+{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$,
對于任意的k值,上式為定值,所以2m2-4m+1=2(m2-2),解得m=$\frac{5}{4}$,此時$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=-$\frac{7}{16}$為定值.
②當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線l:x=1,x1x2=1,x1+x2=2,y1y2=-$\frac{1}{2}$.
由m=$\frac{5}{4}$,得$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=1-2×$\frac{5}{4}$+$\frac{25}{16}$-$\frac{1}{2}$=-$\frac{7}{16}$為定值.
綜上述①②知,符合條件的點(diǎn)M存在,其坐標(biāo)為$(\frac{5}{4},0)$.

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì),考查了分類討論方法、推理能力與計算能力,屬于難題.

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