分析 (I)設(shè)橢圓E的方程為x2a2+y22=1(a>b>0),由已知得:2c=2,ca=√22,b2=a2-c2,聯(lián)立解得即可得出.
(Ⅱ)符合條件的點M存在,其坐標為(54,0).證明如下:假設(shè)存在符合條件的點M(m,0),又設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則:→MP•→MQ=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2.分類討論:①當直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為:y=k(x-1),與橢圓方程聯(lián)立化為(2k2+1)x2-4k2x+(2k2-2)=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系可得→MP•→MQ=(2m2−4m+1)k2+m2−22k2+1,對于任意的k值,上式為定值,所以2m2-4m+1=2(m2-2),解得m.
②當直線l的斜率不存在時,直線l:x=1,x1x2=1,x1+x2=2,y1y2=-12.由m=54,代入得→MP•→MQ即可得出.
解答 解:(I)設(shè)橢圓E的方程為x2a2+y22=1(a>b>0),
由已知得:2c=2,ca=√22,b2=a2-c2,
聯(lián)立解得c=1,b=1,a=√2.
∴橢圓E的方程為x22+y2=1.
(Ⅱ)符合條件的點M存在,其坐標為(54,0).證明如下:
假設(shè)存在符合條件的點M(m,0),又設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則:
→MP•→MQ=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2.
①當直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為:y=k(x-1),
由{y=k(x−1)x22+y2=1,得(2k2+1)x2-4k2x+(2k2-2)=0,
∴x1+x2=4k22k2+1,x1•x2=2k2−22k2+1,
y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[-(x1+x2)+x1•x2+1]=-k22k2+1.
∴→MP•→MQ=(2m2−4m+1)k2+m2−22k2+1,
對于任意的k值,上式為定值,所以2m2-4m+1=2(m2-2),解得m=54,此時→MP•→MQ=-716為定值.
②當直線l的斜率不存在時,直線l:x=1,x1x2=1,x1+x2=2,y1y2=-12.
由m=54,得→MP•→MQ=1-2×54+2516-12=-716為定值.
綜上述①②知,符合條件的點M存在,其坐標為(54,0).
點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運算性質(zhì),考查了分類討論方法、推理能力與計算能力,屬于難題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | (0,2] | B. | [1,2] | C. | [1,+∞) | D. | [2,+∞) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 若m∥α,n∥β,m⊥n,則α⊥β | B. | 若m∥n,n∥α,α∥β,則m∥β | ||
C. | α∥β,m⊥α,n∥β⇒m⊥n | D. | 若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,則m⊥α |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 5 | B. | 85 | C. | 25√10 | D. | 13 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 函數(shù)y=f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增 | B. | 函數(shù)y=f(x)的遞減區(qū)間為(3,5) | ||
C. | 函數(shù)y=f(x)在x=0處取得極大值 | D. | 函數(shù)y=f(x)在x=5處取得極小值 |
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