Question

10．三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC且PA=2，△ABC是邊長(zhǎng)為$\sqrt{3}$的等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為（　�。�

• A． $\frac{4π}{3}$
• B． 4π
• C． 8π
• D． 20π

Answer 1

分析 由已知結(jié)合三棱錐和正三棱柱的幾何特征，可得此三棱錐外接球，即為以△ABC為底面以PA為高的正三棱柱的外接球，分別求出棱錐底面半徑r，和球心距d，代入R=$\sqrt{{r}^{2}+hv0p1oa^{2}}$，可得球的半徑R，由此能求出該三棱錐外接球的表面積．

解答 解：根據(jù)已知中底面△ABC是邊長(zhǎng)為$\sqrt{3}$的正三角形，PA⊥底面ABC，
可得此三棱錐外接球，即為以△ABC為底面以PA為高的正三棱柱的外接球
∵△ABC是邊長(zhǎng)為$\sqrt{3}$的正三角形，
∴△ABC的外接圓半徑r=$\frac{2}{3}\sqrt{3-\frac{3}{4}}$=1，
球心到△ABC的外接圓圓心的距離d=1，
故球的半徑R=$\sqrt{{r}^{2}+txubyws^{2}}$=$\sqrt{2}$，
故三棱錐P-ABC外接球的表面積S=4πR²=8π，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，熟練掌握球的半徑R公式R=$\sqrt{{r}^{2}+unugt00^{2}}$，是解答的關(guān)鍵．