Question

5．過點(diǎn)（-1，0）的直線1與曲線y=$\sqrt{x}$相切，則曲線y=$\sqrt{x}$與l及x軸所圍成的封閉圖形的面積為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 先求出切線方程，再利用定積分求面積．

解答 解：∵y=$\sqrt{x}$，∴y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
設(shè)切點(diǎn)為（a，$\sqrt{a}$），則切線方程為y-$\sqrt{a}$=$\frac{1}{2\sqrt{a}}$（x-a），
代入（-1，0），可得0-$\sqrt{a}$=$\frac{1}{2\sqrt{a}}$（-1-a），
∴-1-a=-2a，
∴a=1，
∴切線方程為y-1=$\frac{1}{2}$（x-1），即y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
∴曲線y=$\sqrt{x}$與l及x軸所圍成的封閉圖形的面積為$\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}$+${∫}_{0}^{1}（\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}-\sqrt{x}）dx$=$\frac{1}{4}$+$（\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}）{|}_{0}^{1}$=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線方程，考查定積分知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．