Question

15．已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)y=f（x）滿足f（x）=[f′（x）-1]x，且f（1）=0．則函數(shù)y=f（x）的最小值為（　�。�

• A． -$\frac{1}{e}$
• B． -1
• C． -e
• D． 0

Answer 1

分析 利用條件求出f（x）=xlnx，根據(jù)極值與最值的求解方法，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)只有一個(gè)極值，那么極小值就是最小值．

解答 解：∵f（x）=[f′（x）-1]x，且f（1）=0，
∴f′（1）=1①．
又f′（x）=[f″（x）]x+f′（x）-1，
∴f″（x）=$\frac{1}{x}$，∴f′（x）=lnx+C②，聯(lián)立①②可求得C=1，
∴f（x）=xlnx，
∴f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得x=$\frac{1}{e}$．
∵當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{e}$ ） 時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}$，+∞） 時(shí)，f'（x）＞0，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{e}$ 時(shí)，f（x）_min=-$\frac{1}{e}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，解答關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的最值問題．