【題目】已知函數(shù),若關(guān)于的方程有四個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍是_________.
【答案】
【解析】
方程有四個不相等的實數(shù)根,即方程有四個不相等的實數(shù)根,則或有四個不相等的實數(shù)根,結(jié)合圖象利用分類討論與的根的情況,其中當時分別構(gòu)造函數(shù)與分析,最后由轉(zhuǎn)化思想將函數(shù)有兩個零點轉(zhuǎn)化為小于0構(gòu)造不等式求得答案.
方程有四個不相等的實數(shù)根,即方程有四個不相等的實數(shù)根,則或有四個不相等的實數(shù)根,
因為函數(shù),
對方程的根分析,令,
由圖象分析可知,當時,必有一根,
當時,令,則,所以函數(shù)單調(diào)遞增,故,所以當時,方程無根,
故方程只有1個根,那么方程應有3個根,
對方程的根分析,令,
由圖象分析可知,當時,必有一根,
當時,方程應有2兩個不等的實根,其等價于方程有2個不等的實根,
令,則,且其在內(nèi)有兩個零點,
顯然當,函數(shù)單調(diào)遞增,不滿足條件,則;
令,則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間 單調(diào)遞增;
所以函數(shù)在取得極小值,同時也為最小值,,
函數(shù)若要有兩個零點,則,
綜上所述,實數(shù)的取值范圍是.
故答案為:
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸,且與直角坐標系長度單位相同的極坐標系中,曲線的極坐標方程是.
(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程;
(2)設(shè)點.若直與曲線相交于兩點,求的值.
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【題目】甲、乙兩位學生參加數(shù)學競賽培訓,現(xiàn)分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次,記錄如下:
甲:82 81 79 78 95 88 93 84
乙:92 95 80 75 83 80 90 85
(1)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù);
(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學競賽,從統(tǒng)計學的角度(平均數(shù)、方差)考慮,你認為選派哪位同學參加合適?請說明理由
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),則以下結(jié)論正確的是( )
A.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是
B.函數(shù)有且只有1個零點
C.存在正實數(shù),使得成立
D.對任意兩個正實數(shù),,且,若則
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【題目】某公司培訓員工某項技能,培訓有如下兩種方式,方式一:周一到周五每天培訓1小時,周日測試;方式二:周六一天培訓4小時,周日測試.公司有多個班組,每個班組60人,現(xiàn)任選兩組(記為甲組、乙組)先培訓,甲組選方式一,乙組選方式二,并記錄每周培訓后測試達標的人數(shù)如下表,其中第一、二周達標的員工評為優(yōu)秀.
第一周 | 第二周 | 第三周 | 第四周 | |
甲組 | 20 | 25 | 10 | 5 |
乙組 | 8 | 16 | 20 | 16 |
(1)在甲組內(nèi)任選兩人,求恰有一人優(yōu)秀的概率;
(2)每個員工技能測試是否達標相互獨立,以頻率作為概率.
(i)設(shè)公司員工在方式一、二下的受訓時間分別為、,求、的分布列,若選平均受訓時間少的,則公司應選哪種培訓方式?
(ii)按(i)中所選方式從公司任選兩人,求恰有一人優(yōu)秀的概率.
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【題目】在直角坐標系xOy中,已知直線l過點P(2,2).以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ﹣ρcos2θ﹣4cosθ=0.
(1)求C的直角坐標方程;
(2)若l與C交于A,B兩點,求的最大值.
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【題目】設(shè)函數(shù)圖象上不同兩點,處的切線的斜率分別是,,規(guī)定(為線段的長度)叫做曲線在點與點之間的“彎曲度”,給出以下命題:
①函數(shù)圖象上兩點與的橫坐標分別為和,則;
②存在這樣的函數(shù),其圖象上任意不同兩點之間的“彎曲度”為常數(shù);
③設(shè),是拋物線上不同的兩點,則 ;
④設(shè), 是曲線(是自然對數(shù)的底數(shù))上不同的兩點,則.
其中真命題的個數(shù)為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】為了解某校學生參加社區(qū)服務(wù)的情況,采用按性別分層抽樣的方法進行調(diào)查.已知該校共有學生960人,其中男生560人,從全校學生中抽取了容量為的樣本,得到一周參加社區(qū)服務(wù)的時間的統(tǒng)計數(shù)據(jù)好下表:
超過1小時 | 不超過1小時 | |
男 | 20 | 8 |
女 | 12 | m |
(Ⅰ)求,;
(Ⅱ)能否有95%的把握認為該校學生一周參加社區(qū)服務(wù)時間是否超過1小時與性別有關(guān)?
(Ⅲ)以樣本中學生參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的頻率作為該事件發(fā)生的概率,現(xiàn)從該校學生中隨機調(diào)查6名學生,試估計6名學生中一周參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的人數(shù).
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市民用水擬實行階梯水價,每人用水量中不超過立方米的部分按4元/立方米收費,超出立方米的部分按10元/立方米收費,從該市隨機調(diào)查了10000位居民,獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù),整理得到如下頻率分布直方圖:
(1)如果為整數(shù),那么根據(jù)此次調(diào)查,為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米, 至少定為多少?
(2)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替,當時,估計該市居民該月的人均水費.
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