Question

15．已知直線l₁的方程為3x+4y-12=0，
（1）求l₂的方程，使得：①l₂與l₁平行，且過點（-1，3）；
②l₂與l₁垂直，且l₂與兩坐標軸圍成的三角形面積為4；
（2）直線l₁與兩坐標軸分別交于A、B 兩點，求三角形OAB（O為坐標原點）內切圓及外接圓的方程．

Answer 1

分析 （1）利用平行直線系方程特點設出方程，結合條件，用待定系數法求出待定系數．
（2）直線l₁與兩坐標軸分別交于A、B 兩點，即A（0，3），B（4，0），即可求三角形OAB（O為坐標原點）內切圓及外接圓的方程．

解答 解：（1）①由直線l₂與l₁平行，可設l₂的方程為3x+4y+m=0，以x=-1，y=3代入，得-3+12+m=0，即得m=-9，
∴直線l₂的方程為3x+4y-9=0．
②由直線l₂與l₁垂直，可設l₂的方程為4x-3y+n=0，
令y=0，得x=-$\frac{n}{4}$，令x=0，得y=$\frac{n}{3}$，
故三角形面積S=$\frac{1}{2}•|-\frac{n}{4}|•|\frac{n}{3}|$=4
∴得n²=96，即n=±4$\sqrt{6}$
∴直線l₂的方程是4x-3y+4$\sqrt{6}$=0或4x-3y-4$\sqrt{6}$=0．
（2）直線l₁與兩坐標軸分別交于A、B 兩點，即A（0，3），B（4，0），
設內切圓的圓心坐標為（a，a），則$\frac{1}{2}×3×3=\frac{1}{2}×（3+4+5）a$，∴a=$\frac{3}{4}$，
∴三角形OAB（O為坐標原點）內切圓的方程為（x-$\frac{3}{4}$）²+（y-$\frac{3}{4}$）²=$\frac{9}{16}$；
外接圓的圓心坐標為（2，1.5），外接圓的方程為（x-2）²+（y-1.5）²=6.25．

點評 本題考查待定系數法求直線方程，考查求三角形OAB（O為坐標原點）內切圓及外接圓的方程，正確運用待定系數法是關鍵．