Question

5．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$上的點到直線y=-x-1的最短距離是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$上的點到直線y=-x-1的距離是d=$\frac{|x+\frac{1}{x}+1|}{\sqrt{2}}$≥$\frac{|-2+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可得出結論．

解答 解：設f（x）=$\frac{1}{x}$上的點（x，$\frac{1}{x}$），則
函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$上的點到直線y=-x-1的距離是d=$\frac{|x+\frac{1}{x}+1|}{\sqrt{2}}$≥$\frac{|-2+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當且僅當x=-1時取等號，
∴函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$上的點到直線y=-x-1的最短距離是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$上的點到直線y=-x-1的最短距離，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．