Question

5．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$上的點(diǎn)到直線y=-x-1的最短距離是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$上的點(diǎn)到直線y=-x-1的距離是d=$\frac{|x+\frac{1}{x}+1|}{\sqrt{2}}$≥$\frac{|-2+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)f（x）=$\frac{1}{x}$上的點(diǎn)（x，$\frac{1}{x}$），則
函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$上的點(diǎn)到直線y=-x-1的距離是d=$\frac{|x+\frac{1}{x}+1|}{\sqrt{2}}$≥$\frac{|-2+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取等號(hào)，
∴函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$上的點(diǎn)到直線y=-x-1的最短距離是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$上的點(diǎn)到直線y=-x-1的最短距離，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．