Question

11．已知x，y∈R，滿足x²+2xy+4y²=6，則z=x+y的取值范圍為$[-\sqrt{6}，\sqrt{6}]$．

Answer 1

分析 x，y∈R，滿足x²+2xy+4y²=6，即（x+y）²+$（\sqrt{3}y）^{2}$=6，α∈[0，2π）．令x+y=$\sqrt{6}$cosα，$\sqrt{3}$y=$\sqrt{6}$sinα，即可得出．

解答 解：∵x，y∈R，滿足x²+2xy+4y²=6，即（x+y）²+$（\sqrt{3}y）^{2}$=6，α∈[0，2π）．
令x+y=$\sqrt{6}$cosα，$\sqrt{3}$y=$\sqrt{6}$sinα，
則z=x+y=$\sqrt{6}$cosα∈$[-\sqrt{6}，\sqrt{6}]$．
∴z=x+y的取值范圍為$[-\sqrt{6}，\sqrt{6}]$．
故答案為：$[-\sqrt{6}，\sqrt{6}]$．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)求值、換元方法、配方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．