Question

16．在平行四邊形ABCD中，AB=4，AD=3，∠DAB=$\frac{π}{3}$，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，DC邊上，且$\overrightarrow{BE}$=$2\overrightarrow{EC}$，$\overrightarrow{DF}$=$\overrightarrow{FC}$，則$\overrightarrow{AE}$$•\overrightarrow{BF}$=（　�。�

• A． $-\frac{8}{3}$
• B． -1
• C． 2
• D． $\frac{10}{3}$

Answer 1

分析 由條件便可得到$\overrightarrow{BE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{CF}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，根據(jù)向量加法的幾何意義便可得到$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，這樣根據(jù)AB=4，AD=3，∠DAB=$\frac{π}{3}$進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可求出$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}$的值．

解答 解：$\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{EC}$，$\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{FC}$；
∴$\overrightarrow{BE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{CF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}=（\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}）•（\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}）$
=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{2}{3}{\overrightarrow{AD}}^{2}$
=$\frac{2}{3}•4•3•cos\frac{π}{3}-8+6$
=2．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)乘和加法的幾何意義，相等向量的概念，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算及其計(jì)算公式．