Question

11．函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{2}$-$\frac{a}{4}$+acosx+sin²x（0≤x≤$\frac{π}{2}$）的最大值為2，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 設(shè)cosx=t，則0≤t≤1，則f（t）=1-t²+at-$\frac{1}{2}$-$\frac{a}{4}$=-（t-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{1}{2}$+$\frac{{a}^{2}}{4}$-$\frac{a}{4}$，由二次函數(shù)區(qū)間的最值分類(lèi)討論可得．

解答 解：設(shè)cosx=t，
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴0≤t≤1，
∵f（x）=-$\frac{1}{2}$-$\frac{a}{4}$+acosx+sin²x=-$\frac{1}{2}$-$\frac{a}{4}$+acosx+sin²x，
∴f（t）=1-t²+at-$\frac{1}{2}$-$\frac{a}{4}$=-（t-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{1}{2}$+$\frac{{a}^{2}}{4}$-$\frac{a}{4}$，
當(dāng)$\frac{a}{2}$≤0時(shí)，即a≤0時(shí)，f（t）_max=f（0）=$\frac{1}{2}$-$\frac{a}{4}$=2，解得a=-6，
當(dāng)$\frac{a}{2}$≥1時(shí)，即a≥2時(shí)，f（t）_max=f（1）=a-$\frac{1}{2}$-$\frac{a}{2}$=2，解得a=3，
當(dāng)0＜$\frac{a}{2}$＜1時(shí)，即0＜a＜2時(shí)，f（t）_max=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{1}{2}$+$\frac{{a}^{2}}{4}$-$\frac{a}{4}$=2，解得a=3或a=-2，舍去，
綜上所述a的值為-6或3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及分類(lèi)討論和分類(lèi)常數(shù)法以及二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬中檔題．