Question

已知動點P與平面上兩定點A（-

2

，0），B=（

2

，0）連線的斜率的積為定值-

1

2

．
（1）試求動點P的軌跡方程C．
（2）是否存在直線l：y=kx+1與曲線C交于M、N兩點，且以線段MN為直徑的圓過原點，若存在求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)P（x，y），利用動點P與平面上兩定點A（-

2

，0），B（

2

，0）連線的斜率的積為定值-

1

2

，建立方程，即可求動點P的軌跡方程C．
（2）直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)M，N兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．根據(jù)韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂，進而根據(jù)若以MN為直徑的圓恰好過原點，得知x₁x₂+y₁y₂=0，根據(jù)x₁x₂求得y₁y₂代入即可求得k，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)P（x，y），則
∵動點P與平面上兩定點A（-

2

，0），B（

2

，0）連線的斜率的積為定值-

1

2

，
∴

y

x+ 2

•

y

x- 2

=-

1

2

，
∴化簡可得

x2

4

+

y2

2

=1；
（2）由題意知，直線l代入橢圓方程得（1+2k²）x²+4kx-2=0．
設(shè)M，N兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
則x₁+x₂=-

4k

1+2k2

，x₁x₂=-

2

1+2k2

若以MN為直徑的圓恰好過原點，x₁x₂+y₁y₂=0，
所以，x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0，
即（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
所以（1+k²）（-

2

1+2k2

）+k（-

4k

1+2k2

）+1=0，
得k²=±

1

2

，
所以直線l的方程為y=±

1

2

x+1．

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程以及直線與橢圓的關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．