Question

4．一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示．

（Ⅰ）請按字母F，G，H標(biāo)記在正方體相應(yīng)地頂點處（不需要說明理由）
（Ⅱ）判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系．并說明你的結(jié)論．
（Ⅲ）證明：直線DF⊥平面BEG．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接標(biāo)出點F，G，H的位置．
（Ⅱ）先證BCHE為平行四邊形，可知BE∥平面ACH，同理可證BG∥平面ACH，即可證明平面BEG∥平面ACH．
（Ⅲ）連接FH，由DH⊥EG，又DH⊥EG，EG⊥FH，可證EG⊥平面BFHD，從而可證DF⊥EG，同理DF⊥BG，即可證明DF⊥平面BEG．

解答 解：（Ⅰ）點F，G，H的位置如圖所示．
（Ⅱ）平面BEG∥平面ACH，證明如下：
∵ABCD-EFGH為正方體，
∴BC∥FG，BC=EH，
又FG∥EH，F(xiàn)G=EH，
∴BC∥EH，BC=EH，
∴BCHE為平行四邊形．
∴BE∥CH，
又CH?平面ACH，BE?平面ACH，
∴BE∥平面ACH，
同理BG∥平面ACH，
又BE∩BG=B，
∴平面BEG∥平面ACH．
（Ⅲ）連接FH，
∵ABCD-EFGH為正方體，
∴DH⊥EG，
又∵EG?平面EFGH，
∴DH⊥EG，
又EG⊥FH，EG∩FH=O，
∴EG⊥平面BFHD，
又DF?平面BFHD，
∴DF⊥EG，
同理DF⊥BG，
又∵EG∩BG=G，
∴DF⊥平面BEG．

點評 本題主要考查了簡單空間圖形的直觀圖、空間線面平行與垂直的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．