Question

20．已知函數(shù)f（x）=2sin²x+sinx•cosx+cos²x，x∈R． 求：
（1）f（$\frac{π}{12}$）的值；
（2）函數(shù)f（x）的最小值及相應(yīng)x值；
（3）函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）用三角函數(shù)的二倍角公式與和正弦的和差角公式將函數(shù)化簡，再代值計(jì)算即可，
（2）根據(jù)化簡后的解析式，即可求出最小值和對(duì)應(yīng)的想值，
（3）由（1）的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：f（x）=2sin²x+sinx•cosx+cos²x
=1+sin²x+sinx•cosx=1+$\frac{1-co2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x，
=$\frac{1}{2}$（sin2x-cos2x）+$\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{3}{2}$．…（3分）
（1）f（$\frac{π}{12}$）=$\frac{1}{2}$（sin$\frac{π}{6}$-cos$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$=$\frac{7}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
（2）f（x）的最小值為$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此時(shí)2x-$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，
即x=kπ-$\frac{π}{8}$，k∈Z；…（8分）
（3）由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，得：-$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{3π}{8}$+kπ，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為[-$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{3π}{8}$+kπ]，k∈Z．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)恒等變換化簡函數(shù)解析式以及函數(shù)單調(diào)區(qū)間，考查的知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)相當(dāng)全面，知識(shí)性較強(qiáng)．