Question

已知函數(shù)f（x）=

a

x

+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下求函數(shù)f（x）+2x的極值；
（Ⅲ）若f（x）＜

1

2

x在x∈（1，+∞）時恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=

1

x

+lnx，x＞0，f′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）+2x=

1

x

+lnx+2x，g′（x）=

1

x

-

1

x2

+2=

2x2+x-1

x2

，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）+2x的極值．
（Ⅲ）由題意知

a

x

+lnx-

1

2

x＜0在x∈（1，+∞）時恒成立，即a＜

1

2

x2-xlnx在x∈（1，+∞）時恒成立，設(shè)h（x）=

1

2

x2-xlnx，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=

1

x

+lnx，
∴x＞0，f′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
由f′(x)=

x-1

x2

=0，得x=1，
當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，1），單調(diào)增區(qū)間是（1，+∞）．
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）+2x=

1

x

+lnx+2x，
g′（x）=

1

x

-

1

x2

+2=

2x2+x-1

x2

，
由g′（x）=0，得x₁=-1，x2=

1

2

，
∵x＞0，∴x=-1不合題意，舍去，
當(dāng)x∈（0，

1

2

）時，g′（x）0，
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，

1

2

），單調(diào)增區(qū)間是（

1

2

，+∞）．
∴x=

1

2

時，函數(shù)f（x）+2x取極小值g(

1

2

)=2+ln

1

2

+2×

1

2

=3-ln2．
無極大值．
（Ⅲ）∵f（x）＜

1

2

x在x∈（1，+∞）時恒成立，
∴

a

x

+lnx-

1

2

x＜0在x∈（1，+∞）時恒成立，
∵x＞0，∴a＜

1

2

x2-xlnx在x∈（1，+∞）時恒成立，
設(shè)h（x）=

1

2

x2-xlnx，
則h′（x）=x-lnx-1，x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，
∴h（x）=

1

2

x2-xlnx在（1，+∞）是增函數(shù)，
∴a≤h（1）=

1

2

，即a≤

1

2

，
∴a的取值范圍為（-∞，

1

2

]．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．