Question

16．偶函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（2-x），且當x∈[-1，0]時，f（x）=cos$\frac{πx}{2}$-1，若函數(shù)g（x）=f（x）-log_ax有且僅有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． $（{\frac{1}{5}，\frac{1}{3}}）$
• B． $（{\frac{1}{4}，\frac{1}{2}}）$
• C． （2，4）
• D． （3，5）

Answer 1

分析 由題意可得，函數(shù)f（x）的圖象既關(guān)于y軸對稱又關(guān)于x=1對稱，函數(shù)f（x）是周期為2，函數(shù)y=f（x）的圖象
和函數(shù)y=log_ax有的圖象有且僅有3個交點，數(shù)形結(jié)合可得$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{{log}_{a}3＞-1}\\{{log}_{a}5＜-1}\end{array}\right.$，由此求得a的范圍．

解答 解：∵偶函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（2-x），
故函數(shù)的圖象既關(guān)于y軸對稱又關(guān)于x=1對稱，
故函數(shù)f（x）是周期為2．
由當x∈[-1，0]時，f（x）=cos$\frac{πx}{2}$-1，
可得函數(shù)f（x）的圖象，
如圖所示：
由題意可得，函數(shù)y=f（x）的圖象
和函數(shù)y=log_ax有的圖象有且僅有3個交點，
故有$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{{log}_{a}3＞-1}\\{{log}_{a}5＜-1}\end{array}\right.$，求得$\frac{1}{5}$＜a＜$\frac{1}{3}$，
故選：A．

點評 本題主要考查方程根的存在性以及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．