Question

3．已知f（x）=x²-ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）
（1）若f（x）≥g（x）對(duì)于公共定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)h（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁∈（0，$\frac{1}{2}$），若h（x₁）-h（x₂）＞m恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （1）f（x）≥g（x）對(duì)于公共定義域內(nèi)的任意x恒成立?x²-ax-lnx≥0恒成立，x＞0?a≤$（x-\frac{lnx}{x}）_{min}$，x＞0．令u（x）=$x-\frac{lnx}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．
（2）由題意知道：h（x）=x²-ax+lnx．則${h}^{′}（x）=2x-a+\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-ax+1}{x}$（x＞0），所以方程2x²-ax+1=0，（x＞0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，且${x}_{1}∈（0，\frac{1}{2}）$，可得${x}_{2}=\frac{1}{2{x}_{1}}$∈（1，+∞），且$a{x}_{i}=2{x}_{i}^{2}+1$，（i=1，2），而h（x₁）-h（x₂）=${x}_{2}^{2}-\frac{1}{4{x}_{2}^{2}}-ln（2{x}_{2}^{2}）$，（x₂＞1）設(shè)u（x）=${x}^{2}-\frac{1}{4{x}^{2}}-ln（2{x}^{2}）$（x＞1），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：（1）f（x）≥g（x）對(duì)于公共定義域內(nèi)的任意x恒成立?x²-ax-lnx≥0恒成立，x＞0?a≤$（x-\frac{lnx}{x}）_{min}$，x＞0．
令u（x）=$x-\frac{lnx}{x}$，x＞0，則u′（x）=1-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+lnx-1}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x=1時(shí)，x²+lnx-1=0；當(dāng)x＞1時(shí)，u′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)u（x）單調(diào)遞增；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，u′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)u（x）單調(diào)遞減．
因此當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)u（x）取得極小值即最小值，u（1）=1．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，1]．
（2）由題意知道：h（x）=x²-ax+lnx．則${h}^{′}（x）=2x-a+\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-ax+1}{x}$（x＞0），
所以方程2x²-ax+1=0，（x＞0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，且${x}_{1}∈（0，\frac{1}{2}）$，
又∵${x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{2}$，∴${x}_{2}=\frac{1}{2{x}_{1}}$∈（1，+∞），且$a{x}_{i}=2{x}_{i}^{2}+1$，（i=1，2），
而h（x₁）-h（x₂）=${x}_{1}^{2}-a{x}_{1}+ln{x}_{1}$-$（{x}_{2}^{2}-a{x}_{2}+ln{x}_{2}）$=${x}_{1}^{2}-（2{x}_{1}^{2}+1）+ln{x}_{1}$-$[{x}_{2}^{2}-（2{x}_{2}^{2}+1）+ln{x}_{2}]$
=${x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}$+$ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=${x}_{2}^{2}$-$（\frac{1}{2{x}_{2}}）^{2}$+$ln\frac{\frac{1}{2{x}_{2}}}{{x}_{2}}$=${x}_{2}^{2}-\frac{1}{4{x}_{2}^{2}}-ln（2{x}_{2}^{2}）$，（x₂＞1）
設(shè)u（x）=${x}^{2}-\frac{1}{4{x}^{2}}-ln（2{x}^{2}）$（x＞1），則u′（x）=$\frac{（2{x}^{2}-1）^{2}}{2{x}^{3}}$≥0，
∴u（x）＞u（1）=$\frac{3}{4}-ln2$，即h（x₁）-h（x₂）＞$\frac{3}{4}-ln2$恒成立，
因此$m≤\frac{3}{4}-ln2$．
∴實(shí)數(shù)m的最大值為$\frac{3}{4}$-ln2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，考查了變形能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．