Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow$=（-1，2）．
（1）若$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow$，求$\frac{sinθ-cosθ}{sinθ+cosθ}$的值；
（2）若|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{6}$，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），求sin（$θ+\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由向量垂直得數(shù)量積為0，得出sinθ與cosθ的關(guān)系，代入所求式子即可化簡；
（2）對|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{6}$兩邊平方得出數(shù)量積的值，從而求出sinθ，cosθ，使用和角公式計算．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2sinθ-cosθ=0，∴cosθ=2sinθ．
∴$\frac{sinθ-cosθ}{sinθ+cosθ}$=$\frac{sinθ-2sinθ}{sinθ+2sinθ}$=-$\frac{1}{3}$．
（2）∵|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{6}$，∴$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=6，即1-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+5=6，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0．
由（1）知cosθ=2sinθ．∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴sin（$θ+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，三角函數(shù)化簡求值，屬于基礎(chǔ)題．