Question

19．已知函數(shù)f（x）=lnx-2x．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）若a＞0時(shí)，不等式f（x）≥-ax²+ax-2在x∈[$\frac{1}{e}$，1]（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e≈2.71828）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出導(dǎo)函數(shù)，找到導(dǎo)數(shù)為0的根，在檢驗(yàn)導(dǎo)數(shù)為0的根兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可得出結(jié)論．
（2）把f（x）的解析式代入f（x）≥-ax²+ax-2，利用參數(shù)分離分得到a≤$\frac{lnx-2x+2}{x-{x}^{2}}$，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，求出函數(shù)在[$\frac{1}{e}$，1]上的最大值，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-2=$\frac{1-2x}{x}$=0⇒x=$\frac{1}{2}$．
又∵x＞0，
∴0＜x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）為增函數(shù)；
x＞$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）＜0，的f（x）為減函數(shù)．
當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)取得極大值，同時(shí)也是最大值，此時(shí)最大值為f（$\frac{1}{2}$）=ln$\frac{1}{2}$-2×$\frac{1}{2}$=-ln2-1．
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，不等式f（x）≥-ax²+ax-2在x∈[$\frac{1}{e}$，1]上恒成立，
等價(jià)為a≤$\frac{lnx-2x+2}{x-{x}^{2}}$在x∈[$\frac{1}{e}$，1]上恒成立，
令g（x）=$\frac{lnx-2x+2}{x-{x}^{2}}$，
則g′（x）=$\frac{（2x-1）（lnx-x+1）}{（x-{x}^{2}）^{2}}$，
設(shè)h（x）=lnx-x+1，h′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$＞0，則y=lnx-x+1在在[$\frac{1}{e}$，1]上為增函數(shù)，
∴h（x）＜h（1）=0，
由g′（x）=0得x=$\frac{1}{2}$，
由g′（x）＞0得$\frac{1}{e}$≤x＜$\frac{1}{2}$，此時(shí)g（x）為增函數(shù)，
由g′（x）＜0得$\frac{1}{2}$＜x≤1，此時(shí)g（x）為減函數(shù)，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)g（x）取得最大值g（x）_max=g（$\frac{1}{2}$）=4-4ln2，
當(dāng)x=1時(shí)，g（1）→1，
當(dāng)x=$\frac{1}{e}$時(shí)，g（$\frac{1}{e}$）=$\frac{ln\frac{1}{e}-\frac{2}{e}+2}{\frac{1}{e}-\frac{1}{{e}^{2}}}$=$\frac{{e}^{2}-2e}{e-1}$＞1，
則0＜a≤1，
綜上，滿足不等式f（x）≥-ax²+ax-2在x∈[$\frac{1}{e}$，1]上恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍是0＜a≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)最值的求解以及不等式恒成立問題，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及參數(shù)分離法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．