Question

【題目】已知實(shí)數(shù)，函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；

（2）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明；

（3）求實(shí)教的范圍，使得對(duì)于區(qū)間上的任意三個(gè)實(shí)數(shù)，都存在以為邊長(zhǎng)的三角形.

Answer 1

【答案】（1）． （2）x∈[0，1）時(shí)，f（x）遞增；x∈（﹣1，0]時(shí)，f（x）遞減；

（3）．

【解析】

（1）判a＝0時(shí)，化簡(jiǎn)函數(shù)，即可求f（x）的最小值；

（2）先化簡(jiǎn)函數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)性，再利用定義進(jìn)行證明；

（3）換元，原問題等價(jià)于求實(shí)數(shù)a的范圍，使得在區(qū)間上，恒有2ymin＞ymax．

由題意，f（x）的定義域?yàn)椋ī?/span>1，1），且f（x）為偶函數(shù)．

（1）a＝0時(shí)，

∴x∈（﹣1，1）時(shí)，， , ∴的值域?yàn)?/span>．

（2）a＝1時(shí)，

∴x∈[0，1）時(shí)，f（x）遞增；x∈（﹣1，0]時(shí)，f（x）遞減；

由于f（x）為偶函數(shù)，

∴只對(duì)x∈[0，1）時(shí)，證明f（x）遞增．

設(shè)0≤x1＜x2＜1，

∴，得

∴x∈[0，1）時(shí)，f（x）遞增成立；同理證明x∈（﹣1，0]時(shí)，f（x）遞減；

∴x∈[0，1）時(shí)，f（x）遞增；x∈（﹣1，0]時(shí)，f（x）遞減；

（3）設(shè)，則

∵，

∴，∴

從而原問題等價(jià)于求實(shí)數(shù)a的范圍，使得在區(qū)間上，恒有2ymin＞ymax．

①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，∴，由2ymin＞ymax得，

從而；

②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，

由2ymin＞ymax得，從而；

③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴ymin＝2，ymax＝，

由2ymin＞ymax得，從而；

④當(dāng)a≥1時(shí)，在上單調(diào)遞減，∴，

由2ymin＞ymax得，從而；

綜上，．