Question

20．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，A、B、C三點滿足$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$．
（Ⅰ）求證：A、B、C三點共線；
（Ⅱ）已知A（1，cosx），B（1+cosx，cosx）（0≤x≤$\frac{π}{2}$），f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$-（2m+$\frac{2}{3}$）•|$\overrightarrow{AB}$|的最小值為-$\frac{3}{2}$，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)向量減法的幾何意義，在$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$兩邊同減去$\overrightarrow{OA}$，進行向量的數(shù)乘運算便可得出$\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$，這樣便可得出三點A，B，C共線；
（Ⅱ）根據(jù)上面容易求出點C的坐標(biāo)，并求出向量$\overrightarrow{AB}$的坐標(biāo)，從而得出f（x）=（cosx-m）²+1-m²，這樣根據(jù)配方的式子，討論m的取值：m＜0，0≤m≤1，m＞1，這樣即可求出m的值．

解答 解：（Ⅰ）由已知得$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\frac{2}{3}（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$；
即$\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{AC}∥\overrightarrow{AB}$，又∵$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AB}$有公共點A；
∴A，B，C三點共線；
（Ⅱ）$\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$；
∴$C（1+\frac{2}{3}cosx，cosx）$；
∵$\overrightarrow{AB}=（cosx，0）$；
∴$f（x）=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}-（2m+\frac{2}{3}）•|\overrightarrow{AB}|$
=$1+\frac{2}{3}cosx+co{s}^{2}x-（2m+\frac{2}{3}）cosx$
=（cosx-m）²+1-m²；
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴cosx∈[0，1]；
①當(dāng)m＜0，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=0時，f（x）取得最小值為1（舍去）
②當(dāng)0≤m≤1時，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=m時，f（x）取得最小值為1-m²，$m=±\frac{\sqrt{10}}{2}$（舍去）
③當(dāng)m＞1時，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=1時，f（x）取得最小值2-2m，2-2m=$-\frac{3}{2}$；
∴$m=\frac{7}{4}$
綜上m=$\frac{7}{4}$．

點評 考查向量減法的幾何意義，向量的數(shù)乘運算，以及共線向量基本定理，根據(jù)點的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，以及配方求二次函數(shù)最值的方法．