【題目】已知函數(shù).

1)當時,討論極值點的個數(shù);

2)若a,b分別為的最大零點和最小零點,當時,證明:.

【答案】1)兩個(2)證明見解析

【解析】

1)求出導函數(shù),由,確定單調(diào)性后再得極值點個數(shù).

2)先證明時,函數(shù)沒有兩個零點,從而,設,且是兩個極值點,得,,計算,證明,可縮小范圍,,得,從而證得命題成立.

1

,,

單調(diào)遞減,

,單調(diào)遞增,

,

時,,使得

,單調(diào)遞增,

單調(diào)遞減,

有兩個極值點.

綜上:時,有兩個極值點:

2)證明:由(1)可知:當時,

恒成立,且的解為有限個,

所以R上單調(diào)遞增,又因為

所以有且只有一個零點,

所以:若函數(shù)有不止一個零點,則

時,由(1)可知:,

,單調(diào)遞增,

單調(diào)遞減,

因為,所以,

,,當時,

上單調(diào)遞增,又因為為連續(xù)函數(shù),

上單調(diào)遞增,又因為為連續(xù)函數(shù),

所以:,即,

又因為,所以,

,

所以.

練習冊系列答案
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