Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{a}^{2x}-（t-1）}{{a}^{x}}$ （a＞0且a≠1）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)．
（Ⅰ）求t的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$），是否存在正數(shù)m（m≠1），使函數(shù)g（x）=log_m[a^2x+a^-2x-mf（x）]在[1，log₂3]上的最大值為0，若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由奇函數(shù)的性質(zhì)可知f（0）=0，得出t=2；
（Ⅱ）根據(jù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$），求出a，從而得到g（x）的解析式，令t=2^x-2^-x，則t∈[$\frac{3}{2}$，$\frac{8}{3}$]，記h（t）=t²-mt+2，對(duì)底數(shù)m進(jìn)行分類(lèi)討論，當(dāng)0＜m＜1時(shí)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將g（x）的最大值轉(zhuǎn)化為h（t）的最小值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，列出關(guān)于m的方程，求出m，當(dāng)m＞1時(shí)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將g（x）的最大值轉(zhuǎn)化為h（t）的最小值，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系，分別求解h（t）的最大值和最小值，根據(jù)題意進(jìn)行求解m的值，最后判斷所求m的值是否符合題意，從而得到答案．

解答 解：（Ⅰ）f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)∴f（0）=0，∴t=2；    
（Ⅱ）假設(shè)存在正數(shù)m（m≠1）符合題意，
由a=2得$g（x）={log_m}[{a^{2x}}+{a^{-2x}}-mf（x）]$，
=${log_m}[{2^{2x}}+{2^{-2x}}-m（{2^x}-{2^{-x}}）]$，
=${log_m}[{（{2^x}-{2^{-x}}）^2}-m（{2^x}-{2^{-x}}）+2]$，
設(shè)t=2^x-2^-x，則（2^x-2^-x）²-m（2^x-2^-x）+2=t²-mt+2，
∵x∈[1，log₂3]，
∴$t∈[\frac{3}{2}，\frac{8}{3}]$，
記h（t）=t²-mt+2，
∵函數(shù)$g（x）={log_m}[{a^{2x}}+{a^{-2x}}-mf（x）]$在[1，log₂3]上的最大值為0，
∴（�。┤�0＜m＜1，則函數(shù)h（t）=t²-mt+2在$[\frac{3}{2}，\frac{8}{3}]$有最小值為1，
∵對(duì)稱(chēng)軸$t=\frac{m}{2}＜\frac{1}{2}$，∴${h_{min}}（t）=h（\frac{3}{2}）=\frac{17}{4}-\frac{3}{2}m=1$$⇒m=\frac{13}{6}$，不合題意；
（ⅱ）若m＞1，則函數(shù)h（t）=t²-mt+2＞0在$[\frac{3}{2}，\frac{8}{3}]$上恒成立，且最大值為1，最小值大于0，
①$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}＜\frac{m}{2}≤\frac{25}{12}\\ h{（t）_{max}}=h（\frac{8}{3}）=1\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}1＜m≤\frac{25}{6}\\ m=\frac{73}{24}\end{array}\right.⇒m=\frac{73}{24}$，
又此時(shí)$\frac{m}{2}=\frac{73}{48}∈[{\frac{3}{2}，\frac{8}{3}}]$，$又h{（t）_{min}}=h（\frac{73}{48}）＜0$，
故g（x）無(wú)意義
所以$m=\frac{73}{24}應(yīng)舍去$；
②$\left\{\begin{array}{l}\frac{m}{2}＞\frac{25}{12}\\ h{（t）_{max}}=h（\frac{3}{2}）=1\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}m＞\frac{25}{6}\\ m=\frac{13}{6}\end{array}\right.⇒m$無(wú)解，
綜上所述：故不存在正數(shù)m（m≠1），使函數(shù)$g（x）={log_m}[{a^{2x}}+{a^{-2x}}-mf（x）]$在[1，log₂3]上的最大值為0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)恒成立問(wèn)題，函數(shù)最值的應(yīng)用．利用f（0）=0，是解決本題的關(guān)鍵．對(duì)于函數(shù)的恒成立問(wèn)題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解．對(duì)于二次函數(shù)要注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，注意抓住二次函數(shù)的開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸，以及判別式的考慮．屬于難題．