Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+ax+b．若方程f[f（x）]=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，x₃，x₄．且f（x₁）=f（x₂），x₁+x₂=-1．則實(shí)數(shù)b的取值范圍是b＜$-\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x₁）=f（x₂），x₁+x₂=-1．可得函數(shù)f（x）=x²+ax+b的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{1}{2}$對(duì)稱，可得a=1，進(jìn)而可得f（x₃）=f（x₄），x₃+x₄=-1．令f（x₁）=f（x₂）=m，f（x₃）=f（x₄）=n，則m+n=-1，m＞f（-$\frac{1}{2}$），n＞f（-$\frac{1}{2}$），解得答案．

解答 解：∵f（x₁）=f（x₂），x₁+x₂=-1．
故函數(shù)f（x）=x²+ax+b的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{1}{2}$對(duì)稱，
即$-\frac{a}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
故a=1，
則f（x₃）=f（x₄），x₃+x₄=-1．
令f（x₁）=f（x₂）=m，f（x₃）=f（x₄）=n，
則m+n=-1，m＞f（-$\frac{1}{2}$），n＞f（-$\frac{1}{2}$），
故-1＞2f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{4b-1}{2}$，
解得：b＜$-\frac{1}{4}$，
故答案為：b＜$-\frac{1}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，本題轉(zhuǎn)化困難，屬于難題．